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求解非齐次线性微分方程组并结合哈密顿力学分析其李代数辛流形几何不变量。
> THINKING PROCESS // 纯强化学习 3.7 秒推演
> 步骤 1：构建相空间 $(q, p)$ 坐标系，写出哈密顿正则方程 $\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}, \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}$。> 步骤 2：验证辛形式 $\omega = \sum dq_i \wedge dp_i$ 在时间演化下的拉回保持不变（李维尔定理）。
> 步骤 3：求解非齐次项扰动：应用常数变易法并计算泊松括号 $\{F, H\}$ 的李代数闭合结构。
> 自校验：需明确指出庞加莱积分不变量在辛流形上的拓扑守恒性。
非齐次微分系统在哈密顿辛流形上的几何推演与拓扑不变量分析如下：
1. 正则方程与辛结构：设系统状态向量为 $z = (q, p)^T$，微分方程可表示为 $\dot{z} = J \nabla H(z) + f(t)$，其中 $J$ 为标准反对称辛矩阵。系统流动保持微分 2-形式 $\omega = dq \wedge dp$ 严格封闭，即 $d\omega = 0$。
2. 庞加莱-嘉当积分不变量：对于相空间中任意闭曲线 $\Gamma$，线积分 $\oint_\Gamma (p\,dq - H\,dt)$ 在沿相流轨迹传播时不随时间改变。非齐次扰动项仅在能量面上引起等度变形，不破坏辛流形的基础拓扑结构。
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